Partielle Differentiation

Kapitel 5.3 Zusammenfassung: Anwendung der partiellen Differentiation

Untersuchung einer Funktion  f(x,y) auf Extremstellen
1. Bestimme die Ableitungen 1. Ordnung  f x   und  f y .

2. Löse das Gleichungssystem von  f x   = 0 und  f = 0  nach x und y auf.  Die Lösungen ergeben die stationären Punkte (xE;yE), die Extremwerte sein  könnten.

a). Hat das Gleichungssystem keine Lösung, so existiert kein Extremwert.

b). Hat das  Gleichungssystem eine oder mehrere  Lösungen, so gehe zu 3.

3. Bestimme die Ableitungen 2. Ordnung  f xx, f yy ,  f xy .

4. Setze jeden stationären Punkt in die Ableitungen 2. Ordnung ein

f xx(xE;yE),  f yy (xE;yE),  f xy (xE;yE).

5. Gilt die Ungleichung:

f xx (xE;yE) ·  f yy  (xE;yE) > (f xy (xE;yE))2

für den eingesetzten Punkt (xE;yE), so liegt an der Stelle (xE;yE) ein Extremwert vor. Gehe weiter zu 6.

a).    Gilt   f xx  ·  f yy   < (f xy )2, so ist der stationäre Punkt (xE;yE)  kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt.

b).   Gilt  f xx  ·  f yy   = (f xy )2 , so ist keine Aussage über den Punkt  (xE;yE) möglich .

6. Ist  f xx  < 0, so ist der Punkt (xE;yE) ein Maximum.

Ist  f xx  > 0, so ist der Punkt (xE;yE) ein Minimum.