Lösbarkeit von LGS

Kapitel 9.4 Zusammenfassung: Kriterien für die Lösbarkeit von Linearen Gleichungssystemen (LGS)

In den Beispielen der letzten beiden Kapitel wurde die besondere Beziehung zwischen dem Rang einer Matrix A und der Lösung eines LGS erklärt.

Für beide Rechenverfahren existieren unter den gleichen Bedingungen genau drei mögliche Lösungsfälle, die zusammengefasst werden können in:

  • Eindeutige Lösung: Die Anzahl der Unbekannten n stimmt mit dem Rang r(A) und r(A│b) überein. Alle Gleichungen sind linear unabhängig. Das LGS hat genau einen Lösungsvektor.

Bedingung: r(A) = r(A│b) = n

  • Keine Lösung: Der Rang der erweiterten Matrix r(A│b) ist größer als der Rang von A.

Bedingung: r(A) < r(A│b)

  • Unendlich viele Lösungen: Die Anzahl der Unbekannten n ist größer als der Rang.                                      

Bedingung: r(A) = r(A│b) < n

In disem Fall gibt es eine allgemeine Lösung, die aus der rechten Seite der Matrix und frei wählbaren Variablen besteht. n – r = Anzahl  frei wählbarer Variablen Setzt man nun in die allgemeine Lösung für die freie Variable eine Zahl  ein, führt dies zu der speziellen Lösung.