Der Lagrange–Ansatz

Kapitel 5.4 Extremwertberechnung unter Nebenbedingungen:

Die meisten Optimierungsaufgaben aus der Praxis, zu  denen auch die Extremwertberechnung gehört, sind durch Restriktionen (Nebenbedingungen) eingeschränkt.

Man stelle sich einen Unternehmer vor, der seine Kosten uneingeschränkt (ohne Restriktion) minimieren soll. Da eine Kostenfunktion mit quadratischen Verlauf  ihr Minimum bei   x = 0 hat, müsste der  Unternehmer, um die Kosten zu minimieren, die Produktion einstellen  und alle Angestellten entlassen oder ausbeuten. Diese Optimierungsaufgabe ist also nur mit einer Restriktion sinnvoll.

Auch für eine realistische Gewinnmaximierung (s. Abb. 37) werden Nebenbedingungen eingehalten. Eine Nebenbedingung in Form einer Funktion g(x,y) schränkt die Variablen der Gewinnfunktion f(x,y) ein. D.h., bei der Suche nach dem Maximum dieser Funktion  nehmen die Variablen keine beliebigen Werte an. Der Definitionsbereich der Funktion f(x,y) wird dabei auf die Punkte (x,y) eingeschränkt, die die Nebenbedingung g(x,y) = 0 erfüllen. Durch diese Einschränkung des Definitionsbereichs verändert sich der Bildbereich der Funktion  f(x,y), dadurch liegen die Maxima und Minima nunmehr an anderen Stellen als die Extremstellen ohne Nebenbedingung g(x,y).

Abb. 37: Maximum einer Gewinnfunktion f(x,y) mit und ohne Nebenbedingung g(x,y)

Das Maximum von z = f(x,y) ohne Nebenbedingung entstammt der Menge aller Punkte auf der Fläche der Funktion z und liegt im Punkt P.

Wenn man aber in die  Gewinnfunktion z = f(x,y) nur Punkte einsetzt, die die Nebenbedingung g(x,y) = 0 erfüllen, so befindet sich das Maximum im Punkt Q.

 

Die Berechnung einer Extremstelle bei Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen soll mit dem Lagrange-Ansatz am Beispiel erklärt werden.

Beispiel 1: Berechnung des Gewinnmaximums

Die Gewinnfunktion G(x,y) = 20x + 39y – 2x2 -3y2 eines Betriebes hängt von zwei Gütern x und y ab. Bei welcher Mengenkombination x und y ist der Gewinn maximal, wenn die Produktionseinschränkung 4x + 6y = 24 berücksichtigt wird?

Zielfunktion: G(x,y) = 20x + 39y – 2x2 -3y2    → max.

                    NB: 4x + 6y = 24

 

1) Forme die Nebenbedingung (NB) so um, dass auf einer Seite  Null steht g(x,y) = 0 und multipliziere sie anschließend mit λ (Lagrange-Multiplikator).

4x + 6y = 24                    / -4x -6y

          0 = 24 – 4x – 6y     /·λ

          0 = 24λ – 4– 6

2) Bilde die erweiterte Zielfunktion  L(x,y,λ) = f(x,y) + g(x,y,λ)

 L(x,y,λ) = 20x + 39y – 2x2 – 3y2 +  24λ – 4– 6

[Zielfunktion]      +   [Nebenbedingung]

3) Bilde die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion L(x,y,λ).

I.   Lx  = 20 – 4x – 4λ

II.  Ly  = 39 – 6y – 6λ

III. Lλ  = 24 – 4x – 6y

4) Setze die partiellen Ableitungen gleich Null. Löse die Gleichungen I, II und III nach den Variablen x, y und λ auf, dabei ist die Reihenfolge unbedeutend.

I.  20 – 4x – 4λ = 0   / :4       nach λ auflösen

5 – xλ = 0   / + λ

               5 – x = λ

II.  39 – 6y – 6λ  = 0  /:6

          6,5 – y λ = 0

              6,5 – y = λ

III. 24 – 4x – 6y = 0

I = II setzen

5 – x = 6,5 –   / -5  nach x auflösen

    x = 1,5 – y    / :(-1)

       x = -1,5 + y      in III. einsetzen

→  24 – 4(-1,5 + y) – 6y = 0

                         30 -10y = 0

                                  30 = 10y   /:10

                                    3 = y     in die Gleichung  x = -1,5 + y einsetzen

→   x = 1,5               x in die Gleichung I. 5 – x = λ einsetzen

→  λ = 3,5

Die optimale Mengenkombination liegt bei x = 1,5 und y = 3  Mengeneinheiten (ME). Der Lagrange-Multiplikator beträgt: λ = 3,5  Geldeinheiten (GE).

5) Die Werte x und y werden in die Zielfunktion  G(x,y) eingesetzt, um das Gewinnmaximum zu berechnen:

G(x,y) = 20 · 1,5 + 39 · 3 – 2 · 1,52 – 3 · 32  = 115,5 GE

Das Einsetzten der x– und y-Werte in die Nebenbedingung   4x + 6y = 24 zeigt, dass die Restriktion eingehalten wurde:

4 · 1,5 + 6 · 3 = 24

24 = 24.

Die Bedeutung des Lagrange Multiplikators λ

 Der Multiplikator gibt näherungsweise an, wie sich die Funktion im Extremwert ändert, wenn die Konstante in der Nebenbedingung um eine Einheit geändert wird. Um welchen Wert ändert sich z.B. der maximale Gewinn im Beispiel 1, wenn die Konstante in der Nebenbedingung 4x + 6y = 24 von 24 auf 23 sinkt?

Das Einsetzen der 23 und  x = -1,5 + in die Gleichung III 0 = 23 – 4x – 6y liefern folgende Werte:

y = 2,9 ME

x = 1,4 ME

Das Einsetzen von x und y in I und II ergibt:

λ = 3,6 GE.

Das Gewinnmaximum beträgt dann unter der Einhaltung der Nebenbedingung:

G(x,y) = 20 · 1,4 + 39 · 2,9 – 2 · 1,42 – 3 · 2,92  = 111,95 GE.

5.5 Zusammenfassung: Lagrange-Ansatz

Extremwertuntersuchung einer Zielfunktion f(x,y) unter der Nebenbedingung g(x,y) = 0
1. Forme die Nebenbedingung nach g(x,y)  = 0 um und multipliziere diese Gleichung anschließend mit λ.

2. Bilde die erweiterte Zielfunktion  L(x,y,λ) = f(x,y) + g(x,y,λ).

3. Bilde die partiellen Ableitungen 1. Ordnung  von L(x,y,λ) und setze sie Null.

I.   Lx = 0

II.  Ly = 0

III. Lλ = 0

4. Löse anschließend das Gleichungssystem aus I, II und III nach x, y und als letztes nach λ auf.

5. Setze die Variablen  x und y in die Zielfunktion  f(x,y) ein.