Extremwerte

Kapitel 5.2 Extremwerte von Funktionen f(x,y)

Ähnlich wie bei differenzierbaren Funktionen vom Typ f(x) ist es auch  möglich, von einer Funktion mit zwei unabhängigen Variablen Extremwerte zu bestimmen.

Eine Extremstelle einer Funktion f(x,y) mit zwei unabhängigen Variablen ist ein Punkt, an dem eine horizontale Tangentialfläche verläuft. Das heißt, sowohl in Richtung der x-Achse als auch in Richtung der y-Achse ist die erste partielle Ableitung dieser Funktion Null.

Die notwendige Bedingung lautet:

f x  = 0  und  f y  = 0.

Abb. 35: Minimum P0 vom Paraboloid im x,y,z-Koordinatensystem

Der Paraboloid f(x,y) = x2 + y2 hat im Nullpunkt P0 ein Minimum. In diesem Punkt verläuft die Tangentialfläche an der Funktion parallel zur x,y – Ebene (Abb. 35).

Die partiellen Ableitungen

f x = 2x und  f y  = 2y werden an der Stelle P0 zu Null. Die Steigung der Tangentialebene ist Null.

 

Die Bedingung  fx  = 0  und  fy  = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür, dass im Punkt P ein Extremwert vorliegt. Es kann  vorkommen, dass an einem Punkt die Ableitungen 1. Ordnung einer Funktion gleich Null sind und diese Funktion denn noch  keinen Extremwert hat. Das ist z.B. dann der Fall, wenn in einem Punkt die Schnittkurve in Richtung der x-Achse ein Maximum (bzw. Min) und die Schnittkurve in Richtung der y-Achse ein Minimum (bzw. Max) hat. Dann liegt, wie im Punkt P der Abb. 36 ein Sattelpunkt vor.

Abb. 36: Tangentialfläche an einem Sattelpunkt P

Im Punkt P befindet sich ein Sattelpunkt, in dem gleichzeitig die Schnittkurve C2 ein Maximum und C1 ein Minimum aufweist. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle    (f x  = 0 und  f y  = 0) wird erfüllt, nicht aber das hinreichende Kriterium:

f xx  ·  f yy   > (f xy )2

Um zu überprüfen, ob ein stationärer Punkt (xE;yE) ein Extremwert ist, bestimmt man die partiellen Ableitungen 2. Ordnung und setzt den stationären Punkt (xE;yE) in folgende Ungleichung ein:

f xx  (xE;yE) ·  f yy  (xE;yE)  > (f xy  (xE;yE)) 2

Wird diese Ungleichung erfüllt, so liegt an der Stelle (xE;yE) ein Extremwert vor. Oft trifft man diese Ungleichung auch in der nach Null umgestellten Form an:

f xx  (xE;yE) ·  f yy  (xE;yE)  – (f xy  (xE;yE)) 2  > 0

Bei partiellen Ableitungen 1. Ordnung, die quadratisch sind, müssen alle stationären Punkte nacheinander auf mögliche Extremstellen untersucht werden. Hier helfen oft genaues Hinschauen, Erfahrung und folgende Beispiele.

Beispiel 1:

Die folgende Funktion soll auf Extremstellen untersucht werden.

f(x,y) = 6  + 4x + 20y + x2 – 2y2 + 4x

1) Bilde die partiellen Ableitungen 1. Ordnung

f x = 4 + 2x + 4y                                    

fy = 20 – 4y + 4x

2) Löse das lineare Gleichungssystem  f x  = 0  und  f y  = 0

 4 + 2x + 4y = 0  und 

20 – 4y + 4x = 0

Ordne die Variablen und bringe die Zahlen ohne Variable auf die rechte Seite der Gleichung. Subtrahiere oder addiere die Gleichungen so, dass nur eine unbekannte Variable übrig bleibt. Im Folgenden wird zu der Gleichung I die Gleichung II addiert. Diese Addition ergibt eine neue Gleichung I: 6x = -24. Diese wird dann nach x aufgelöst und stellt die erste Koordinate des stationären Punktes dar.

I. 2x + 4y = -4     /I. + II.

II. 4x – 4y = -2

→ I.  6x = -24    /:6

 x = -4

x = -4 wird in die Gleichung II eingesetzt, um sie anschließend nach  y aufzulösen.

II. → 4·(-4) – 4y = -20 /+16

                      -4y = -4      /: (-4)

                         y = 1

Der stationäre Punkt (xE ;yE) liegt bei (-4;1). Es muss  noch untersucht werden, ob hier eine Extremstelle vorliegt.

3) Bilde die partiellen Ableitungen 2. Ordnung

f x x = 2

f yy  = -4

f xy  = 4

4) Sind die Ableitungen 2. Ordnung konstant, dann setzt man diese Werte direkt in die hinreichende Bedingung (Ungleichung) ein.

5) Hinreichende Bedingung

f xx  ·  f yy   > (f xy )2

2· (-4) < 42

Da die Ungleichung nicht erfüllt wird, ist der Punkt (-4;1) kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt.